Tel/fax: 0269-210082 (Învăţământ liceal) / Tel: 0269-214781 (Învăţământ primar şi gimnazial)
directiune@cnogsibiu.ro / secretariat@cnogsibiu.ro

Bacalaureat 2021: Programa de examen la MATEMATICĂ

PROGRAMA DE EXAMEN

PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

 

BACALAUREAT 202

Anexa nr. 2 la Ordinul Ministrului Educației nr. 3237/05.02.2021 privind aprobarea programelor pentru Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a și pentru probele scrise ale examenului național de bacalaureat, în anul școlar 2020 – 2021

 

 

PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

Examenul național de bacalaureat reprezintă modalitatea de evaluare externă sumativă a competențelor dobândite pe parcursul învățământului liceal.

În cadrul examenului național de bacalaureat Matematica are statut de disciplină obligatorie în funcție de filieră, profil și specializare. Astfel, programele de examen se diferenţiază, în funcţie de filiera, profilul şi specializarea absolvite, în:

  • programa M_mate-info pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică şi pentru filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică;
  • programa M_şt-nat pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii;
  • programa M_tehnologic pentru filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse naturale şi protecţia mediului, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale;
  • programa M_pedagogic pentru filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător- educatoare.

Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile programelor şcolare în vigoare pentru învățământul liceal. Variantele de subiecte pentru examenul național de bacalaureat evaluează competențele și conținuturile din prezenta programă, iar baremele de evaluare și de notare prevăd acordarea punctajelor pentru orice modalitate corectă de rezolvare a cerințelor.

 

PROGRAMA M_mate-info

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

COMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURI

CLASA a IX-a – 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2.      Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate

3.      Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4.      Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5.      Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6.      Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj

matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

·        Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale

·        Propoziţie, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă); raţionament prin reducere la absurd

·        Inducţia matematică

1.      Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii, şiruri, progresii

2.      Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora

3.      Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionamentul inductiv

4.      Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora

5.      Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe    prin raţionament de tip inductiv

6.      Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe

Şiruri

·      Modalităţi de a defini un şir, șiruri mărginite, șiruri monotone

·      Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii

·      Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ³ 3

1.      Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.      Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor

3.      Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4.      Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate

5.      Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

6.      Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor

Funcţii; lecturi grafice

·        Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau y = m , cu  m Î

·        Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

 

  ·        Funcţii numerice F = { f : D ® , D Í } ;

reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, intersecția graficelor a două funcții, rezolvări grafice ale unor    ecuaţii     şi     inecuaţii     de     forma  f ( x) = g ( x), (£, <, >, ³) ; proprietăţi ale

funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate/imparitate, simetria graficului faţă  de  drepte  de  forma  x = m m Î , periodicitate

·        Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

1.      Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2.      Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

3.      Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

4.      Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5.      Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6.      Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei

obţinute şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

·        Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

f :    ®    ,    f ( x) = ax b ,  unde         a,b Π    ,

intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x) = 0

·        Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei

·        Inecuaţii de forma ax + b £ 0 (<, >,³) studiate pe    sau pe intervale de numere reale

·     Sisteme de inecuaţii de gradul I

1.      Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2.      Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea

3.      Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4.      Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.      Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6.  Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese

Funcţia de gradul al II-lea

·        Reprezentarea  grafică  a  funcţiei   :   ®    , f ( x) = ax2bx c , cu a,b,c Πși a ¹ 0 intersecţia graficului cu axele de coordonate,

ecuaţia f ( x) = 0 , simetria faţă de drepte de

forma x = m , cu m Î

·        Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de

forma ìx y s , cu s, p Î

í xy = p

î

1.      Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice

2.      Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate

3.      Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora

4.      Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5.      Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea

6.      Interpretarea informaţiilor conţinute în

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

·        Monotonie, punct de extrem, vârful parabolei

·        Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox ,  semnul   funcţiei,    inecuaţii    de    forma   ax2 + bx + c £ 0 (³,<, >) , a,b,c Î , a ¹ 0 ,

studiate  pe      sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axa Oy )

 

reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare  
1.      Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2.      Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date

3.      Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4.      Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice

5.      Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6.      Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

·        Segment orientat, vectori, vectori coliniari

·        Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare;  înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1.      Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2.      Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date

3.      Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism

4.      Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată

5.      Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice

6.      Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

·        Vectorul de poziţie a unui punct

·        Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment orientat într-un raport dat

1.      Identificarea       legăturilor      între                          coordonate

unghiulare,   coordonate    metrice   şi                  coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2.      Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice

3.      Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4.      Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5.      Determinarea    unor    proprietăţi    ale                     funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6.      Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

·        Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin : [0, 2p ] ® [-1,1] ,

cos : [0, 2p ] ® [-1,1] , tg : [0,p ] \ ìp ü ®                                                           ,

í 2 ý

î   þ

ctg : (0,p ) ®

·        Definirea funcţiilor trigonometrice:

sin :    ® [-1,1], cos :   ® [-1,1] ,

tg :    \ D ®    , cu D = ìp + kp k Î ü ,

í 2                 ý

î                    þ

ctg :    \ D ®    , cu D = {kp k Î }

·        Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin (b) , sin (– b) , cos(b) , cos(– b) , sin 2a , cos 2a ,

sin a + sin b , sin a – sin b , cos a + cos b ,

cos a – cos b (transformarea sumei în produs)

1.      Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2.      Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii

3.      Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar în geometria plană

·        Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

 

 

acesteia

4.      Analizarea unor configuraţii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5.      Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii

6.      Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

·        Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

·        Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

CLASA a X-a – 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2.      Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale

3.      Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii

4.      Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor

5.      Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.      Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea

unor ecuaţii

Mulţimi de numere

·        Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale

·        Radical de ordin  n   ( n Î     și n ³ 2 ) dintr- un număr, proprietăţi ale radicalilor

·        Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale

logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

·        Mulţimea  . Numere complexe sub formă algebrică, modulul unui număr complex, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe

·        Rezolvarea  în      a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali; ecuaţii bipătrate având coeficienți reali

1.      Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2.      Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3.      Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii

4.      Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5.      Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6.      Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice

Funcţii şi ecuaţii

·        Funcţia    putere     cu     exponent     natural:  f :  ® D f ( x) = xn n Π ,  n ³ 2   și funcţia              radical:                f : D ® , f ( x) = n xn Π        şi       n ³ 2 ,       unde D = [0, +¥) pentru n par şi D = pentru n impar

·        Funcţia exponenţială: f : ® (0, +¥) ,

f ( x) = ax , a Î(0, +¥), a ¹ 1 şi funcţia logaritmică: f : (0, +¥) ®                                                      , f ( x) = loga x , a Î(0, +¥), a ¹ 1

·        Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

·        Funcţii trigonometrice directe şi inverse

·        Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

1.      Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2.      Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

3.      Ecuaţii trigonometrice:

sin x a , cos x a , a Î[-1,1] ,

 

  tgx = a , ctgx = a , a Î ,

sin f ( x) = sin g ( x) ,

cos f ( x) = cos g ( x) , tg f ( x) = tg g ( x) ,

ctg f ( x) = ctg g ( x)

1.      Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2.      Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3.      Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4.      Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5.      Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică

6.      Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

·      Mulţimi finite. Numărul funcţiilor f : A ® B , unde A şi B sunt mulţimi finite

·      Permutări

–      numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

–      numărul funcţiilor bijective f : A ® B , unde A şi B sunt mulţimi finite

·      Aranjamente

–      numărul submulţimilor ordonate cu câte k elemente, k £ n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

–      numărul   funcţiilor   injective   f : A ® B ,

unde A şi B sunt mulţimi finite

·      Combinări – numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0 £ k £ n , ale unei mulţimi finite cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

·      Binomul lui Newton

1.      Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2.      Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3.      Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4.      Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5.      Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.      Corelarea datelor statistice sau probabilistice în

scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

·      Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

·      Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii

·      Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

1.       Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2.       Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3.       Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4.       Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5.       Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6.       Modelarea unor configuraţii geometrice analitic,

Geometrie

·     Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei a doi vectori, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

·     Ecuația unei drepte care trece prin două puncte, panta unei drepte, ecuația unei drepte care trece printr-un punct și are pantă dată

·     Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii

 

 

sintetic sau vectorial  

CLASA a XI-a – 4 ore/săpt.

Competenţe specifice Conţinuturi
1.       Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2.       Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.       Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice

4.       Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând algoritmi specifici

5.       Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6.       Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Matrice

·      Matrice, mulţimi de matrice

·      Operaţii cu matrice: adunarea matricelor, înmulţirea unei matrice cu un scalar, înmulțirea matricelor; proprietăţi

Determinanţi

·      Determinant de ordin n, proprietăţi

Sisteme de ecuaţii liniare

·        Matrice inversabile din M n ( ), n £ 4

·        Ecuaţii matriceale

·        Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice

·        Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouchè

1.      Caracterizarea unor şiruri şi a unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2.      Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice

3.      Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese

4.      Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii

5.      Studierea unor funcţii din punct de vedere cantitativ şi/sau calitativ utilizând diverse procedee: majorări sau minorări pe un interval dat, proprietăţi algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizare a reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi/sau pentru identificarea unor proprietăţi

6.      Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global ale unor funcţii utilizând reprezentarea grafică, continuitatea sau derivabilitatea

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcţii

·        Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile +¥ şi -¥

·        Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse

·      Limita unui şir utilizând vecinătăţi, șiruri convergente

·      Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui Weierstrass. Exemple semnificative: (an ) ,

n

a            ææ     1 ön ö

) ,   çç1 +   ÷ ÷ , numărul e; limita şirului

n       çè    n ø ÷

è             øn

æ(1 + ) 1  ö  ,   ® 0 ,   ¹ 0 ,  pentru orice

ç         n   un  ÷        n                   n

è               øn

număr natural n

·      Operaţii cu şiruri care au limită

·        Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale

·        Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii:

0 , ¥ , ¥ – ¥, 0 × ¥, 1¥ , ¥0 , 00

0 ¥

·        Asimptotele    graficului    funcţiilor                       studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice

Continuitate

 

 

  ·        Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue

·        Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale, studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în

Derivabilitate

·        Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi al II- lea pentru funcţiile studiate

·        Proprietățile funcţiilor derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcţii într-un punct

·        Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: monotonia funcţiilor, puncte de extrem

·        Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune

·        Regulile lui l’Hospital

Reprezentarea grafică a funcţiilor

·        Reprezentarea grafică a funcţiilor

·        Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de soluţii ale unei ecuaţii

CLASA a XII-a – 4 ore/săpt.

Competenţe specifice Conţinuturi
1.           Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată o mulţime

2.           Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe mulţimi diferite

3.1. Determinarea şi verificarea proprietăţilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

4. Utilizarea unor proprietăţi ale operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice

5.1. Utilizarea unor proprietăţi ale structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică

6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza proprietăţilor operaţiilor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

·        Lege de compoziţie, proprietăți, parte stabilă a unei mulțimi în raport cu o lege de compoziție dată

·        Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

·        Subgrup

·        Grup finit, ordinul unui element

·        Morfism, izomorfism de grupuri

Inele şi corpuri

·        Inel, exemple: inele numerice ( , , , ),

n , inele de matrice

·        Corp, exemple: corpuri numerice ( , , ),

p , p prim

·        Morfisme de inele şi de corpuri

1.      Identificarea     legăturilor                        dintre                        o                        funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2.      Identificarea    unor                        metode                        de       calcul                        ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Primitive

·        Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii, proprietăţi ale

 

de derivare

3.      Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4.      Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5.      Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval [a,b]

6.1. Utilizarea proprietăţilor de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite şi în probleme cu conţinut practic

6.2.   Modelarea comportării unei funcţii prin utilizarea primitivelor sale

integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

Integrala definită

·        Diviziuni ale unui interval [a,b] , norma unei

diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval [a,b]

·        Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare.

·        Formula Leibniz – Newton

·        Integrabilitatea funcţiilor continue, teorema de medie, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue

·        Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

b P(x)

ò Q(x) dx , grad Q £ 4 prin metoda

a

descompunerii în fracţii simple

 

 

PROGRAMA M_şt-nat

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

COMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURI

CLASA a IX-a – 4 ore/săpt. (TC+CD)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2.      Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate

3.      Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4.      Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5.      Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6.      Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj

matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

·        Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale

·        Propoziţie, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), raţionament prin reducere la absurd

·        Inducţia matematică

1.      Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii, şiruri, progresii

2.      Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora

3.      Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionamentul inductiv

4.      Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora

5.      Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe    prin raţionament de tip inductiv

6.      Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe

Şiruri

·        Modalităţi de a defini un şir, șiruri mărginite, șiruri monotone

·        Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii

·        Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ³ 3

1.      Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.      Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor

3.      Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4.      Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate

5.      Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

6.      Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor

Funcţii; lecturi grafice

·        Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau  y = m , cu m Î

·        Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

·        Funcţii  numerice   F = { f : D ®  ,  D Í   } ;

 

  reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, intersecția graficelor a două funcții, rezolvări grafice ale unor    ecuaţii     şi     inecuaţii     de     forma  f ( x) = g ( x) , (£, <, >, ³) ; proprietăţi ale

funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate/imparitate, simetria graficului faţă  de  drepte  de  forma  x = m m Î , periodicitate

·        Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

1.      Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2.      Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

3.      Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

4.      Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5.      Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6.      Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei

obţinute şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

·        Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

f :    ®    ,    f ( x) = ax b ,  unde         a,b Π    ,

intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x) = 0

·        Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei

·        Inecuaţii de forma ax + b £ 0 (<, >,³) studiate pe    sau pe intervale de numere reale

·        Sisteme de inecuaţii de gradul I

1.      Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2.      Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea

3.      Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4.      Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.      Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6.  Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese

Funcţia de gradul al II-lea

·        Reprezentarea  grafică  a  funcţiei   f :   ®    , f ( x) = ax2bx c , cu a,b,c Πși a ¹ 0 , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

ecuaţia f ( x) = 0 , simetria faţă de drepte de

forma x = m , cu m Î

·        Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de

forma ìx y s , cu s, p Î

í xy = p

î

1.      Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice

2.      Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate

3.      Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora

4.      Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii  algebrice a unor reprezentări grafice

5.      Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea

6.      Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

·        Monotonie, punct de extrem, vârful parabolei

·        Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox ,  semnul   funcţiei,    inecuaţii    de    forma   ax2  + bx + c £ 0 ,                                                    (³, <, >) , a, b, c Π   , a ¹ 0 ,   studiate   pe        sau pe

intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axa Oy )

 

1.      Identificarea     unor    elemente    de                      geometrie vectorială în diferite contexte

2.      Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date

3.      Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4.      Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice

5.      Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6.      Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

·        Segment orientat, vectori, vectori coliniari

·        Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare;  înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1.      Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2.      Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date

3.      Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism

4.      Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată

5.      Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice

6.      Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

·        Vectorul de poziţie a unui punct

·        Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment orientat într-un raport dat

1.      Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2.      Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice

3.      Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4.      Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5.      Determinarea    unor    proprietăţi    ale                      funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6.      Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

·        Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin : [0, 2p ] ® [-1,1] ,

cos : [0, 2p ] ® [-1,1] , tg : [0,p ] \ ìp ü ®                                                           ,

í 2 ý

î   þ

ctg : (0,p ) ®

·        Definirea funcţiilor trigonometrice:

sin :    ® [-1,1], cos :   ® [-1,1] ,

tg :    \ D ®    , cu D = ìp + kp k Î ü ,

í 2                 ý

î                    þ

ctg :    \ D ®    , cu D = {kp k Î }

·        Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin (b) , sin (– b) , cos(b) , cos(– b) , sin 2a , cos 2a ,

sin a + sin b ,  sin a – sin b , cos a + cos b ,

cos a – cos b (transformarea sumei în produs)

1.      Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2.      Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii

3.      Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia

4.      Analizarea unor configuraţii geometrice pentru

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar în geometria plană

·        Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

·        Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea

 

 

alegerea algoritmilor de rezolvare

5.      Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii

6.      Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

triunghiurilor oarecare

·        Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

CLASA a X-a – 4 ore/săpt. (TC+CD)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.     Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2.     Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale

3.     Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi în rezolvarea de ecuaţii

4.     Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor

5.     Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.     Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în

forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii

Mulţimi de numere

·        Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale

·        Radical de ordin  n   ( n Î     și n ³ 2 ) dintr- un număr, proprietăţi ale radicalilor

·        Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale

logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

·        Mulţimea  . Numere complexe sub formă algebrică, modulul unui număr complex, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe

·        Rezolvarea  în      a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali; ecuaţii bipătrate cu coeficienți reali

1.     Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2.     Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3.     Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

4.     Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5.     Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6.     Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice

Funcţii şi ecuaţii

·        Funcţia    putere     cu     exponent     natural:  f :  ® D f ( x) = xn n Π şi  n ³ 2  și funcţia              radical:                f : D ® , f ( x) = n xn Π        şi       n ³ 2 ,       unde D = [0, +¥) pentru n par şi D = pentru n impar

·        Funcţia exponenţială: f : ® (0, +¥) ,

f ( x) = ax , a Î(0, +¥), a ¹ 1 şi funcţia logaritmică: f : (0, +¥) ®                                                      , f ( x) = loga x , a Î(0, +¥), a ¹ 1

·        Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

·        Funcţii trigonometrice directe şi inverse

·        Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

1.      Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2.      Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

3.      Ecuaţii trigonometrice:

sin x a , cos x a , a Î[-1,1] ,

tgx = a , ctgx = a , a Π,

 

  sin f ( x) = sin g ( x) ,

cos f ( x) = cos g ( x) , tg f ( x) = tg g ( x) ,

ctg f ( x) = ctg g ( x)

1.     Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2.     Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3.     Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4.     Exprimarea, în moduri diferite, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5.     Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică

6.     Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

·      Mulţimi finite. Numărul funcţiilor f : A ® B , unde A şi B sunt mulţimi finite

·      Permutări

–      numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

–      numărul funcţiilor bijective f : A ® B , unde A şi B sunt mulţimi finite

·      Aranjamente

–      numărul submulţimilor ordonate cu câte k elemente, k £ n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

–      numărul   funcţiilor   injective   f : A ® B , unde A şi B sunt mulţimi finite

·      Combinări – numărul submulţimilor cu câte k

elemente, unde 0 £ k £ n , ale unei mulţimi finite cu n elemente; proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

·      Binomul lui Newton

1.     Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2.     Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3.     Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4.     Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5.     Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice  cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.     Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

·        Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

·        Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii

·        Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

1.    Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2.    Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3.    Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4.    Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5.    Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6.    Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

·     Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

·     Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte, panta unei drepte, ecuația unei drepte care trece printr-un punct și are pantă dată

·     Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii

 

CLASA a XI-a – 3 ore/săpt.

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2.      Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.      Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4.      Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5.      Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6.      Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Matrice

·        Matrice, mulţimi de matrice

·        Operaţii cu matrice: adunarea matricelor, înmulţirea unei matrice cu un scalar, înmulţirea matricelor, proprietăţi

Determinanţi

·        Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

Sisteme de ecuaţii liniare

·        Matrice inversabile din M n ( ), n = 2,3

·        Ecuaţii matriceale

·        Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar; metoda Cramer

de rezolvare a sistemelor liniare

1.      Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2.      Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3.      Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme

4.      Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii

5.      Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi

6.      Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii

·        Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile +¥ şi -¥

·        Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale

·        Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere ( n = 2,3 ), funcţia

radical ( n = 2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul

limitelor de funcţii: 0 , ¥ , 0 ×¥

0  ¥

·        Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice

Funcţii continue

·        Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue

·        Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale

Funcţii derivabile

·        Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile

·        Operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate

·        Regulile lui l’Hospital pentru cazurile 0 , ¥

0 ¥

Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor

·        Rolul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea

 

 

  în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

·        Reprezentarea grafică a funcţiilor

CLASA a XII-a – 3 ore/săpt.

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.     Recunoaşterea                            structurilor                         algebrice, a mulţimilor de numere şi de matrice

2.1. Identificarea    unei                        structuri                        algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri

3.1.Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice

5.1.Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice

6.1.Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

·        Lege de compoziţie, proprietăți

·        Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

·        Morfism şi izomorfism de grupuri

Inele şi corpuri

·        Inel, exemple: inele numerice ( , , , ),

n , inele de matrice

·        Corp, exemple: corpuri numerice ( , , ),

p , p prim

1.      Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2.      Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial

3.      Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4.      Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5.      Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval [a,b]

6.      Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practice

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Primitive

·        Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

Integrala definită

·        Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz-Newton

·        Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

·        Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

b P(x)

ò Q(x) dx ,        grad Q £ 4         prin        metoda

a

descompunerii în fracţii simple

 

PROGRAMA M_tehnologic

Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale, profilul resurse naturale şi protecţia mediului, toate calificările profesionale, profilul tehnic, toate calificările profesionale

COMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURI

CLASA a IX-a – 3 ore/săpt. (TC+CD)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme de matematică a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2.      Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a operaţiilor logice în scopul identificării unor proprietăţi ale acestora

3.      Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea unor operaţii cu numere reale, cu mulţimi, cu propoziții/predicate

4.      Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5.      Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6.      Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute şi

interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

·        Mulţimea numerelor reale:  operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin  adaos; operaţii cu intervale de numere reale

·        Propoziție, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă)

·        Inducția matematică

1.      Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2.      Calcularea valorilor unor șiruri care modelează situaţii practice în scopul caracterizării acestora

3.      Alegerea şi utilizarea unor modalităţi adecvate de calculare a elementelor unui șir

4.      Interpretarea grafică a unor relaţii provenite din probleme practice

5.      Analizarea datelor în vederea aplicării unor formule de recurenţă sau a raţionamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor

6.      Analizarea şi adaptarea scrierii termenilor unui şir în funcţie de context

Şiruri

·        Modalităţi de a descrie un şir; şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea  termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

·        Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ³ 3

1.      Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.      Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii utilizând reprezentările grafice

3.      Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate de reprezentare grafică în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale funcțiilor

4.      Exprimarea monotoniei unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.      Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6.      Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

Funcţii; lecturi grafice

·         Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau de forma y = m , m Î

·         Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii

·         Funcţii numerice   f : I ® , I interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului,

intersecţia      graficului      cu      axele   de

coordonate,   intersecția   graficelor a  două

 

  funcții, interpretarea grafică a unor ecuații de forma f ( x) = g ( x) ; proprietăţi ale

funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică:                      mărginire,                      monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa Oy sau origine), periodicitate

·         Compunerea funcțiilor; exemple de funcții numerice

1.      Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2.      Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor și a inecuaţiilor

3.      Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor și a inecuaţiilor

4.      Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5.      Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6.      Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii- problemă şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

·        Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

f : ® , f ( x) = ax b , unde a,b Π,

intersecţia graficului cu axele  de coordonate, ecuaţia f ( x) = 0

·        Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei

·        Inecuaţii                    de           forma

ax + b £ 0 (<, >,³) , a,b Î , studiate pe

1.      Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2.      Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3.      Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4.      Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.      Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor ecuației de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6.      Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii

Funcţia de gradul al II-lea

·        Reprezentarea grafică a funcţiei   :   ®    , f ( x) = ax2bx c cu a,b,c Πși a ¹ 0 , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

ecuaţia f ( x) = 0 , simetria față de drepte de

forma x = m cu m Î

·        Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de

forma ìx y s , cu s, p Î

í xy = p

î

1.      Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2.      Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variației lor

3.      Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii și de inecuaţii

4.      Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5.      Determinarea unor relații între condiţii algebrice date şi graficul funcţiei de gradul al II-lea

6.      Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme practice

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

·        Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică

·        Poziționarea parabolei față de axa Ox , semnul   funcţiei,   inecuaţii   de   forma   ax2 + bx + c £ 0  (³,<, >) ,  a,b,c Î , a ¹ 0 , interpretare geometrică

1.      Identificarea unor elemente de geometrie vectorială

în diferite contexte

2.      Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date

3.      Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie configuraţii geometrice date

4.      Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a

Vectori în plan

·        Segment orientat, vectori, vectori coliniari

·        Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăți ale

înmulțirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi

 

descrie anumite configuraţii geometrice

5.      Identificarea    condiţiilor   necesare pentru              ca                o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6.      Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe

vectori necolineari
1.      Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2.      Utilizarea unor tabele și formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3.      Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4.      Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice

5.      Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare

6.      Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice

Trigonometrie și aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

·        Rezolvarea triunghiului dreptunghic

·        Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin : [0, 2p ] ® [-1,1] ,

cos : [0, 2p ] ® [-1,1] , tg : [0,p ] \ ìp ü ®                                                          ,

í 2 ý

î   þ

ctg : (0,p ) ®

·        Definirea funcţiilor trigonometrice:

sin :    ® [-1,1], cos :   ® [-1,1] ,

tg :    \ D ®    , cu D = ìp + kp k Î ü ,

í 2                 ý

î                    þ

ctg :    \ D ®    , cu D = {kp k Î }

·        Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin (b) , sin (– b) , cos(b) , cos(– b) , sin 2a , cos 2a ,

·        Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema

sinusurilor şi teorema cosinusului

CLASA a X-a – 3ore/săpt. (TC+CD)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2.      Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3.      Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali, logaritmi în contexte variate

4.      Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor

5.      Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.      Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii

Mulţimi de numere

·        Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul

·        Media aritmetică, media ponderată, media geometrică, media armonică

·        Radical unui număr (de ordin sau de ordin 3), proprietăţi ale radicalilor

·        Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

·        Mulţimea  . Numere complexe sub formă algebrică, modulul unui număr complex, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe; rezolvarea în    a ecuaţiei

de gradul al doilea având coeficienţi reali

1.      Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2.      Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3.      Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii

Funcţii şi ecuaţii

·        Funcţia    putere:    f :    ®    ,    f ( x) = xn ,  n Π,  n ³ 2   și funcţia radical:   f : D ® , f ( x) = n x , n = 2,3 , unde D = [0, +¥) pentru n par şi  D =  pentru n impar

 

4.      Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5.      Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6.      Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice

·        Funcţia      exponenţială       f :    ® (0, +¥) ,

f ( x) = ax , a Î(0, +¥), a ¹ 1 şi

funcţia        logaritmică         f : (0, +¥) ®        ,

f ( x) = loga x , a Î(0, +¥), a ¹ 1

·        Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

·        Funcții trigonometrice directe și inverse

·        Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

–         Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

–         Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice, utilizarea unor substituţii care conduc la

rezolvarea de ecuaţii algebrice

1.      Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2.      Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3.      Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4.      Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5.      Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic, cu ajutorul elementelor de combinatorică

6.      Alegerea strategiilor de rezolvare a unor probleme în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

·        Mulţimi finite: permutări, aranjamente, combinări, numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

1.      Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2.      Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi a diagramelor

3.      Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4.      Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice

5.      Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.      Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin

analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

·        Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

·        Interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice

·        Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

1.      Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2.      Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism

3.      Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4.      Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii

geometrice

Geometrie

·        Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

·        Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte, panta unei drepte, ecuația unei drepte

 

5.      Interpretarea    perpendicularităţii   în                         relaţie                     cu paralelismul şi minimul distanţei

6.      Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

care trece printr-un punct și are pantă dată

·        Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte în plan; linii importante în triunghi, calcularea unor

distanţe şi a unor arii

CLASA a XI-a – 3 ore/săpt. (TC+CD)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2.      Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.      Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4.      Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5.      Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6.      Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Matrice

·        Matrice, mulţimi de matrice

·        Operaţii cu matrice: adunarea matricelor, înmulţirea unei matrice cu un scalar, înmulţirea matricelor, proprietăţi

Determinanţi

·        Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

Sisteme de ecuaţii liniare

·        Matrice inversabile din M n ( ), n = 2,3

·        Ecuaţii matriceale

·        Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar; metoda lui

Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

1.      Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2.      Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3.      Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme

4.      Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii

5.      Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi

6.      Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcţii

·        Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile +¥ şi -¥

·        Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale

·        Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere ( n = 2,3 ), funcţia

radical ( n = 2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul

limitelor de funcţii: 0 , ¥ , 0 ×¥

0  ¥

·        Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice

Funcţii continue

·        Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue

·        Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale

Funcţii derivabile

·        Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile

·        Operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea

 

  pentru funcţiile studiate

·        Regulile lui l’Hospital pentru cazurile 0 , ¥

0 ¥

Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor

·        Rolul derivatei de ordin I şi de ordinul al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

·        Reprezentarea grafică a funcţiilor

CLASA a XII-a – 3 ore/săpt. (TC+CD)
Competenţe specifice Conţinuturi
1. Recunoaşterea structurilor algebrice,  a mulţimilor de numere şi de matrice

2.1.  Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri algebrice

3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice

5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme practice

6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

·        Lege de compoziţie, proprietăți

·        Grup, exemple: grupuri numerice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

·        Morfism şi izomorfism de grupuri

Inele si corpuri

·        Inel, exemple: inele numerice (   ,   ,    ,    ),    n

·        Corp,   exemple:   corpuri numerice  (   ,    ,    ),

p , p prim
1.   Identificarea    legăturilor                              dintre          o                              funcţie ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Primitive

·        Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

Integrala definită

·        Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz – Newton

·        Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

·        Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

b P(x)

ò Q(x) dx , grad Q £ 2

a

continuă şi derivata sau primitiva acesteia
2.   Stabilirea          unor    proprietăţi                         ale       calculului
integral,    prin    analogie    cu                proprietăţi          ale
calculului diferenţial
3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor
integrale definite
4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor
definite, în scopul optimizării soluţiilor
5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue,
pentru calcularea integralei acesteia pe un
interval [a,b]
6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în
probleme practice

 

PROGRAMA M_pedagogic

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

COMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURI

CLASA a IX-a – 2 ore/săpt. (TC)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi/sau a teoriei mulţimilor

2.      Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulţimilor

3.      Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentări pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii

4.      Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi folosind limbajul logicii matematice

5.      Redactarea rezolvării unor probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi/sau al teoriei mulţimilor

6.      Transpunerea unei situații cotidiene în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute şi

interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

·        Mulţimea numerelor reale:  operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin  adaos; operaţii cu intervale de numere reale

·        Propoziţie, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă)

1.      Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2.      Reprezentarea     în     diverse                            moduri                            a      unor corespondenţe, şiruri în scopul caracterizării acestora

3.      Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv

4.      Exprimarea caracteristicilor unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, diagrame, grafice)

5.      Deducerea unor proprietăţi ale şirurilor folosind diferite reprezentări sau raţionamente de tip inductiv

6.      Asocierea   unei   situaţii-problemă              cu                 un model

matematic de tip şir, progresie aritmetică sau geometrică

Şiruri

·        Modalităţi de a descrie un şir; şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea  termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

1.      Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.      Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcţii

3.      Folosirea unor proprietăţi ale funcţiilor pentru completarea graficului unei funcţii pare, impare sau periodice

4.      Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe baza lecturii grafice

5.      Reprezentarea graficului prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6.      Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

Funcţii; lecturi grafice

·         Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau de forma y = m, m Î

·         Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lectură grafică; egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii, graficul unei funcţii

·         Funcţii numerice   f : I ® , I interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului,

intersecţia      graficului      cu      axele   de

coordonate, intersecția graficelor a două funcții, interpretarea grafică a unor ecuaţii de  forma    f ( x) = g ( x) ;  proprietăţi ale

 

  funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică:                      mărginire,                      monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de origine),

periodicitate

1.      Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2.      Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor și a inecuaţiilor

3.      Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I

4.      Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie prin funcţii de gradul I, ecuații sau inecuaţii

5.      Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I

6.      Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii- problemă şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

·        Definiție; reprezentarea grafică a funcţiei

f : ® , f ( x) = ax b , unde a,b Π,

intersecţia graficului cu axele  de coordonate, ecuaţia f ( x) = 0

·        Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei

·        Inecuaţii de forma ax + b £ 0 , (<, >,³) ,

a, b Î studiate pe

1.      Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple

2.      Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

3.      Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

4.      Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.      Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme

6.      Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii

Funcţia de gradul al II-lea

·        Reprezentarea       grafică       a       funcţiei :   ®    ,   f ( x) = ax2 + bx c a,b,c Î , a ¹ 0 , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x) = 0 , simetria faţă de drepte de forma x = m , cu m Î

·        Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de

forma ìx y s , cu s, p Î

í xy = p

î

1.      Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2.      Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variaţiei lor

3.      Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii și de inecuaţii

4.      Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5.      Interpretarea unei configuraţii din perspectiva poziţiei unei parabole față de axa Ox

6.      Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimizării rezolvării unor probleme practice

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

·        Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică

·        Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul   funcţiei,   inecuaţii   de   forma   ax2  + bx + c £ 0     (³,<, >) ,   cu  a,b,c Î , a ¹ 0 , interpretare geometrică

1.      Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2.      Utilizarea reţelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date

3.      Efectuarea de operaţii cu vectori pe configuraţii geometrice date

4.      Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice

Vectori în plan

·        Segment orientat, vectori, vectori coliniari

·        Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi

vectori necoliniari

 

 

5.      Identificarea condiţiilor necesare pentru efectuarea operaţiilor cu vectori

6.      Aplicarea     calculului    vectorial     în     descrierea proprietăţilor unor configurații geometrice date

 
1.      Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2.      Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei configuraţii geometrice plane date

3.      Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică

4.      Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date

5.      Determinarea condiţiilor necesare pentru coliniaritate, concurenţă sau paralelism

6.      Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

·        Vectorul de poziţie a unui punct

·        Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment orientat într-un raport dat

1.      Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2.      Utilizarea unor tabele și a unor formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3.      Aplicarea    teoremelor    şi    a                   formulelor    pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri)

4.      Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi/sau geometriei a unor probleme practice

5.      Utilizarea    unor   elemente   de                   trigonometrie       în rezolvarea triunghiului dreptunghic/oarecare

6.      Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice

Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

·        Rezolvarea triunghiului dreptunghic

·        Formulele (fără demonstraţie):

cos(180° – x) = -cos x ;

sin (180° – x) = sin x , unde 0° £ x £ 180°

·        Modalităţi de calcul a lungimii  unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului

CLASA a X-a – 2ore/săpt. (TC)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte variate

2.      Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3.      Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali și logaritmi în contexte variate

4.      Alegerea formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor

5.      Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.      Analizarea validităţii unor afirmaţii prin

utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau a regulilor de calcul

Numere reale

·        Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale

·        Radical dintr-un număr (ordin 2 sau ordin 3), proprietăţi ale radicalilor

·        Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

1.      Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în diverse moduri

2.      Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, convexitate)

3.      Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în calcule şi aproximări, prin metode diverse

Funcţii şi ecuaţii

·        Funcţia  putere:   f :   ® D ,   f ( x) = xn , n Π  , n ³ 2       şi      funcţia      radical:        : D ® , f ( x) = n x , n = 2,3 , unde D = [0, +¥) pentru n par şi  D =  pentru n impar

·        Funcţia         exponenţială         f : ® (0, +¥) ,

 

 

4.      Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie printr-o funcţie de o variabilă

5.      Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului

6.      Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii

f ( x) = ax , a Î(0, +¥) , a ¹ 1 şi

funcţia          logaritmică           f : (0, +¥) ®          ,

f ( x) = loga x , a Î(0, +¥)

·        Rezolvări    de    ecuaţii   folosind                  proprietăţile funcţiilor:

–         Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

–         Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice, utilizarea unor substituţii care conduc la

rezolvarea unor ecuaţii algebrice

1.      Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2.      Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3.      Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4.      Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5.      Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.      Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin

analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

·        Probleme de numărare: permutări, aranjamente, combinări

·        Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

·        Reprezentarea    grafică    a    datelor    statistice. Interpretarea datelor statistice

·        Probabilitatea   unui   eveniment                        compus                 din evenimente egal probabile

1.      Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2.      Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3.      Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4.      Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5.      Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6.      Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

·        Reper cartezian în plan, coordonatele  unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

·        Ecuaţia dreptei care trece prin două puncte, panta unei drepte, ecuația unei drepte care trece printr-un punct și are pantă dată

·        Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanţe şi a unor arii

CLASA a XI-a -1 oră/săpt. (TC)

 

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de numere şi a structurilor algebrice

2.      Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

3.      Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse mulţimi în scopul identificării unor algoritmi

4.      Exprimarea  proprietăţilor  mulţimilor înzestrate

Structuri algebrice

·        Legi de compoziţie, proprietăţi

·        Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. Exemple: mulţimile    ,   ,    n ,    ,

 

cu    operaţii    prin    identificarea        organizării structurale a acestora

5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe

mulţimi diferite în deducerea unor proprietăţi algebrice

 

CLASA a XII-a – 1 oră/săpt. (TC)

Competenţe specifice Conţinuturi
1.      Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea sa matriceală

2.      Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.      Aplicarea, în situaţii practice, a algoritmilor de calcul cu matrice

4.      Rezolvarea unor sisteme de ecuații liniare prin metoda Cramer

5.      Stabilirea condițiilor ca o matrice să fie inversabilă şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a ecuațiilor matriceale

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrice

·        Matrice, mulţimi de matrice

·        Operaţii cu matrice: adunarea matricelor, înmulţirea unei matrice cu un scalar, înmulţirea matricelor, proprietăţi

Determinanţi

·        Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

Sisteme de ecuaţii liniare

·        Matrice     inversabile    din     M n ( ), n = 2,3 . Ecuaţii matriceale

·        Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

cu cel mult 3 necunoscute

 

 

 921 total views,  2 views today

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.